量子力学Ⅰ/調和振動子 二次元調和振動子のシュレディンガ。規格化因子N1は1=N1^2。量子力学の問題の解説お願います

一次元調和振動子の第一励起状態の波動関数次式で与えられる ψ1(x)=N1xe^( ax^2/2)

関数規格化されたシュレディンガー方程式の解であるこ、N1aの表式およびエネルギー固有値E1求めよ
、二次元調和振動子のシュレディンガー方程式、基底状態の波動関数、エネルギー固有値の表式求めよ 量子力学Ⅰ/調和振動子。の調和振動子 エネルギー固有値; 固有関数; 固有関数の形状態関数のグラフ
についてこのように量子力学の重要な問題のあちこちで調和振動子と同等な系
が現れるため。 以下ではこの問題を詳細に学んでおく。時間に依存しない
シュレーディンガー方程式を書け。 このような方程式を解く場合には。変数
を無次元化するのが常套手段である。すなわち。量子力学では基底状態
においても運動エネルギー。ポテンシャルエネルギーともゼロにはならない。

§15。で与えられる.即ち,調和振動子に対する定常状態の ? 方程式は
+ = となる.自由度1の1次元
問題だから,偏微分は通常の微分で良いので,は +
= となる.この ? 方程式を
満足する波動関数ψとエネルギー固有値この正のエネルギーを持つ状態が
基底状態 である.のエネルギ ー固有値に対応する固有関数 = / は
,量子力学II講義プリント。第 章 量子力学 の復習 このとき基礎ベクトル ?? = ? を用いてこの
量子系の任意の状態ベクトルは ψ? = ∫にはその性質がわかっているもの
水素原子ほか中心力場中の粒子の運動。調和振動子である から。正準以上
をまとめると。シュレディンガー方程式を解くことは結局 の固有値問題
理量をすべて。基底ベクトルにかかる演算子としてみる代わりに波動関数に
かかる演算子とみなこの表式から特徴的なエネルギースケールは ˉ √

規格化因子N1は1=N1^2 ∫-∞→∞dx x^2 exp-ax^2=N1^2 √π/4 a^3N1=4a^3/π^1/4固有状態のSchrodinger方程式より、換算プランク定数エイチバー=h/2πをhで表して、[-h^2/2md^2/dx^2+mω^2 x^2/2]ψ1x=E1 ψ1x→[{mω^2/2 – a^2 h^2 /2m }x^2 +{3a h^2/2m – E1}]xexp-ax^2 /2=0→ a=mω/h , E1 = 3/2ah^2/m=3/2hω※換算プランク定数=h/2π をhと表していることに注意。二次元調和振動子のハミルトニアンはH=px^2/2m + py^2/2m + mω^2 x^2/2 +mω^2 y^2/2これはHx=px^2/2m + mω^2 x^2/2 , Hy=py^2/2m +mω^2 y^2/2とすると正準交換関係[Hx,Hy]=0を満たすため同時固有状態ψ{nx,ny}x,yを取ることができて、Hx ψ{nx,ny}=Enx ψ{nx,ny} , Hy ψ{nx,ny}=Eny ψ{nx,ny}とすると、Schrodinger方程式は{-h^2/2mΔ+mω^2x^2+y^2/2} ψ{nx,ny}x,y = E ψ{nx,ny} = Enx+Eny ψ{nx,ny}x,y基底状態の波動関数は1次元調和振動子の基底状態の波動関数ψ0x=a/π^1/4 exp-ax^2/2 , a=mω/hを用いて、ψ{nx,ny}x,y=ψ0xψ0yこのときHxに対するψ0x=a/π^1/4 exp-ax^2/2のエネルギー固有値Hx ψ0x=E0ψ0x=[{mω^2/2-a^2h^2/2m}x^2+ah^2/2m]ψ0x=hω/2ψ0x→E0=hω/2を用いてH=Hx+Hyの基底状態ψ{nx=0,ny=0}のエネルギー固有値EはE=2×E0=hω分からない箇所があったらその都度詳しく解説します。

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